作差法比大小
原理
对于两个数列\(a_n\)和\(b_n\)，要比较它们的大小关系，可通过计算\(a_n b_n\)的结果来判断。若\(a_n b_n>0\)，则\(a_n>b_n\)；若\(a_n b_n = 0\)，则\(a_n=b_n\)；若\(a_n b_n<0\)，则\(a_n<b_n\)。
示例
设\(a_n=n^2\)，\(b_n = 2n 1\)。
计算\(a_n b_n=n^(2n 1)=n^2 2n + 1=(n 1)^2\)。
当\(n = 1\)时，\((n 1)^2=0\)，此时\(a_1=b_1\)。
当\(n>1\)时，\((n 1)^2>0\)，此时\(a_n>b_n\)。
根式型裂项相消法
原理
对于形如\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + k}}\)（\(k\)为常数）的根式数列求和，可将其进行裂项。\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + k}}=\frac{\sqrt{n + k\sqrt{n}}{k}\)。
示例
求数列\(a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。
因为\(a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}=\sqrt{n + 1\sqrt{n}\)。
则\(S_n=a_1 + a_2+\cdots+a_n\)
\(=(\sqrt{2\sqrt{1})+(\sqrt{3\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n + 1\sqrt{n})\)
通过裂项相消，可得\(S_n=\sqrt{n + 11\)。
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